Свойства Гамма-функции

$\Gamma(x)$ сходится равномерно на $[\varepsilon, E]$, $\forall{0 < \varepsilon < E < \infty}$.

Признак сравнения.

$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$ непрерывна на $(0, \infty)$.

Функция $t^{x-1}e^{-t}$ непрерывна, а интеграл сходится равномерно на $[\varepsilon, E] \subset (0, \infty)$. По теореме о непрерывности НИЗОПа $\Gamma(x)$ непрерывна на $[\varepsilon, E]$, значит и на объединении $\bigcup[\varepsilon, E] = (0, \infty)$.

$\Gamma(x)$ бесконечно дифференцируема на $(0, \infty)$.

$(t^{x-1}e^{-t})^{(k)} = t^{x-1}e^{-t}\ln^k t$, а по признаку сравнения $\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\ln^k t~dt$ сходится равномерно на $\forall {[\varepsilon, E]}$. Значит по теореме о дифференцируемости НИЗОПа $\Gamma(x)$ дифференцируема любое число раз на $[\varepsilon, E]$, а значит и на их объединении. Кроме того $\Gamma^{(k)}(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\ln^k t~dt$.

$$\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x),~~ x > 0$$

Доказательство. Интегрированием по частям $$\Gamma(x + 1) = \int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-t} dt = \left. t^{x}(-e^{-t}) \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} xt^{x-1}e^{-t} dt = x\Gamma(x).$$

$$\Gamma(n) = (n - 1)!~~ \forall{n \in \mathbb{N}}$$

Доказательство. Б.И. $\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} t^{0}e^{-t} dt = \left. -e^{-t} \right|_{0}^{\infty} = 1 = 0!$. Ш.И. $\Gamma(n) = (n - 1)\Gamma(n - 1) = (n - 1)(n - 2)! = (n - 1)!$.